Question

已知函數f（x）=sin（

π

2

+x）cos（

π

2

-x），給出下列四個說法：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；  ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數； ④f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱．
其中正確說法的個數為（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值,運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：化簡解析式可得f（x）=

1

2

sin2x，由已知可求x₁=-x₂+2kπ（k∈Z），即可判斷①錯；
由周期公式可求f（x）的最小正周期是π，即可判斷②錯；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，可求得單調遞增區間即可判斷③對；
令2x=

π

2

+kπ，求得對稱軸方程即可判斷④對．

解答： 解：f（x）=sin（

π

2

+x）cos（

π

2

-x）=

1

2

sin2x，若f（x₁）=-f（x₂），則f（x₁）=f（-x₂），所以x₁=-x₂+2kπ（k∈Z），故①錯；
f（x）的最小正周期是π，故②錯；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，所以-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ（k∈Z），故③對；
令2x=

π

2

+kπ，所以x=

π

4

+

kπ

2

（k∈Z），所以④對．
綜上，正確說法的個數為2．
故選：B．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，運用誘導公式化簡求值，三角函數的圖象與性質，屬于基礎題．