Question

7．已知等差數列{a_n}的公差為2，若a₂，a₃，a₆成等比數列
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₃=a₂+2、a₆=a₂+8及a₂，a₃，a₆成等比數列可求出a₂=1，進而利用等差數列通項公式計算即得結論；
（2）由（1）裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），進而并項相加即得結論．

解答 解：（1）由題可知a₃=a₂+2，a₆=a₂+8，
因為a₂，a₃，a₆成等比數列，
所以（a₂+2）²=a₂（a₂+8），解得a₂=1，
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-3；
（2）由（1）可知${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{2n-3}$•$\frac{1}{2n-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
所以S_n=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{-n}{2n-1}$，
所以${S_n}=\frac{-n}{2n-1}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查裂項相消法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．