Question

（本小題滿分12分）已知函數.

（1）判斷函數的奇偶性，并證明；

（2）若對于任意，不等式恒成立，求正實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）f （x）在定義域上是奇函數；（2） m的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）判斷奇偶性，首先求定義域，看定義域是否關于原點對稱.然后再看是滿足還是.若滿足，則是奇函數；若滿足，則為偶函數.（2）對不等式，應根據函數的單調性轉化為普通不等式.所以首先利用導數判斷的單調性.由于，當或時，恒成立，所以在上是減函數，因為x∈[2,4]且m>0，所以，由得，即m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立．設g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，這樣即可.

試題解析：（1）由，得且，

∴函數的定義域為， 1分

當時，， 2分

， 3分

所以， 4分

∴f （x）在定義域上是奇函數； 5分

（2）由于，

當或時，恒成立，

所以在上是減函數， 6分

因為x∈[2,4]且m>0，所以， 7分

由及在上是減函數，

所以， 8分

因為x∈[2,4]，所以m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立． 9分

設g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，則g（x）＝－x3＋7x2＋x－7， 10分

所以g′（x）＝－3x2＋14x＋1＝－32＋，

所以當時，g′（x）>0 ．

所以y＝g（x）在上是增函數，g（x）min＝g（2）＝15 ． 11分

綜上知符合條件的m的取值范圍是． 12分

考點：1、函數的奇偶性；2、導數的應用.