Question

16．已知函數f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，|α|＜π），在同一周期內，當$x=\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值2；當$x=\frac{7π}{12}$時，f（x）取得最小值-2
（1）求函數f（x）的解析式；                      
（2）求函數f（x）的單調減區間（3）若$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$時，函數h（x）=2f（x）+1-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標出φ的值，可得函數的解析式．
（2）利用正弦函數的單調性求得函數f（x）的單調減區間．
（3）由題意利用正弦函數的圖象，求得m的范圍．

解答 （1）由題意，$A=2，T=2（{\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}}）=π，ω=\frac{2π}{T}=2$，
由$2×\frac{π}{12}+α=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$α=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$．
又因為-π＜α＜π，∴$α=\frac{π}{3}$，所以$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$\frac{π}{6}+2kπ≤2x≤\frac{7π}{6}+2kπ，k∈Z$，則$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ，k∈Z$，
∴函數f（x）的單調遞減區間為$[{\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ}]$．
（3）由題意知，方程$sin（2x+\frac{π}{3}）=\frac{m-1}{4}$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上有兩個根，
∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$，∴$2x+\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$\frac{m-1}{4}∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$，∴$m∈[{2\sqrt{3}+1，5}）$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標出φ的值；還考查了正弦函數的單調性、正弦函數的圖象，屬于中檔題．