Question

6．已知矩形ABCD（AB＞AD）的周長為12，若將它關于對角線AC折起后，使邊AB與CD交于點P（如圖所示），則△ADP面積的最大值為27-18$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設AB=x，則AD=6-x，利用勾股定理得到PD，再根據三角形的面積公式和基本不等式的性質，即可求出．

解答 解∵設AB=x，則AD=6-x，又DP=PB′，AP=AB′-PB′=AB-DP，
即AP=x-DP，
∴（6-x）²+PD²=（x-PD）²，得PD=6-$\frac{18}{x}$，
∵AB＞AD，
∴3＜x＜6，
∴△ADP的面積S=$\frac{1}{2}$AD•DP=$\frac{1}{2}$（6-x）（6-$\frac{18}{x}$）
=27-3（x+$\frac{18}{x}$）≤27-3×2$\sqrt{x•\frac{18}{x}}$=27-18$\sqrt{2}$，
當且僅當x=3$\sqrt{2}$時取等號，
∴△ADP面積的最大值為27-18$\sqrt{2}$，
故答案為：27-18$\sqrt{2}$

點評 本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，基本不等式的應用，其中根據已知條件求出△ADP的面積的表達式，將問題轉化為利用基本不等式求最值問題，是解答本題的關鍵．屬于中檔題．