Question

5．已知復數z=1+bi（b為正實數），且（z-2）²為純虛數．
（Ⅰ）求復數z；
（Ⅱ）若$ω=\frac{z}{2+i}$，求復數ω的模|ω|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把z=1+bi代入（z-2）²化簡，再結合已知條件即可求出b的值，則復數z可求；
（Ⅱ）把z=1+i代入$ω=\frac{z}{2+i}$，再由復數代數形式的乘除運算化簡，然后由復數求模公式計算得答案．

解答 解：（Ⅰ）（z-2）²=（-1+bi）²=1-b²-2bi，
∵1-b²-2bi為純虛數，∴1-b²=0，且-2b≠0，解得b=1或b=-1（舍），
∴z=1+i；
（Ⅱ）$ω=\frac{1+i}{2+i}=\frac{（1+i）（2-i）}{5}=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$，
∴$|ω|=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念及復數模的求法，是基礎題．