Question

【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)內(nèi)切圓半徑.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積最大值為3，內(nèi)切圓半徑.

【解析】

(1)由已知可得,根據(jù)可得,將代入橢圓可得,從而可得,可得橢圓方程;

(2)根據(jù)可得,換元可得,根據(jù)單調(diào)性可求得面積的最大值為3,根據(jù)（為三角形內(nèi)切圓半徑）,可求得三角形內(nèi)切圓半徑.

（1）設(shè)橢圓方程為，.點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則點(diǎn).

∵.即,∴,所以,

又，

解得,

∴橢圓方程為.

（2）由（1）知，

設(shè)直線方程為，，，則

，消去得，

∴.

∴

,

令，則，∴.

令，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

∴，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

即當(dāng)時(shí)，的面積最大值為3.

過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為.

又（為三角形內(nèi)切圓半徑），

∴當(dāng)的面積最大時(shí),，得內(nèi)切圓半徑.