Question

【題目】數列滿足對任意的恒成立，為其前n項的和，且，.

（1）求數列的通項；

（2）數列滿足，其中.

①證明：數列為等比數列；

②求集合

Answer 1

【答案】（1）；（2）①過程見詳解；②.

【解析】

（1）先由題意，得到數列是等差數列，設公差為，根據題中條件，求出首項與公差，進而可求出通項公式；

（2）①根據（1）的結果，將化為，得到（），兩式作差整理，得到，進而可求出，判斷出結果；

②先由得到，即，判斷出，得到，設，得到，分別研究對應的情況，再由導數的方法證明當，時， ，即可得出結果.

（1）因為數列滿足對任意的恒成立，

所以數列是等差數列，設公差為，

因為，，所以，解得：，

因此；

（2）①因為數列滿足，

，

所以（），

兩式作差可得：（），

又也滿足上式，所以，

記數列的前項和為，

則，

當時，，兩式作差可得：，

所以，

即，

所以，因此，即數列為等比數列；

②由得，即，

記，由①得，所以，因此（當且僅當時等號成立）.

由得，所以.

設，由得，即；

當時，，不符合題意；

當時，，此時符合題意；

當時，，不符合題意；

當時，，不符合題意，

下面證明當，時， ，

不妨設，

則在上恒成立，

所以在單調遞增；

所以，

所以，當，時， 恒成立，不符合題意；

綜上，集合.