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四面體ABCD中,AC=BD,E,F分別為AD,BC的中點,且,∠BDC=90°,求證:BD⊥平面ACD.
【答案】分析:欲證BD⊥平面ACD,根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面ACD內兩相交直線垂直,取CD的中點G,連接EG,FG,根據勾股定理可證得EG⊥FG,又BD⊥CD,AC∩CD=C,結論得證.
解答:證明:取CD的中點G,連接EG,FG,∵E,F分別為AD,BC的中點,
∴EG;FGBD,又AC=BD,∴
∴在△EFG中,
∴EG⊥FG,∴BD⊥AC,又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,
∴BD⊥平面ACD.
點評:本題主要考查了直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(I)求證:AO⊥平面BCD;
(II)求點E到平面ACD的距離;
(III)求二面角A-CD-B的余弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知O是△ABC內任意一點,連結AO,BO,CO并延長交對邊于A′,B′,C′,則
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1,這是平面幾何中的一個命題,運用類比猜想,對于空間四面體ABCD中,若O四面體ABCD內任意點存在什么類似的命題
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1

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科目:高中數學 來源: 題型:

在四面體ABCD中,=a, =b, =c,G為△BCD的重心,則=__________.

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科目:高中數學 來源: 題型:

四面體ABCD中,以A為頂點的三條棱兩兩互相垂直,那么A在底面△BCD內的射影是這個三角形的(    )

A.外心                B.垂心                C.內心              D.重心

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知在四面體ABCD中,= a= b= cG∈平面ABC.則G為△ABC的重心的充分必要條件是(a+b+c);

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