Question

四面體ABCD中，AC=BD，E，F分別為AD，BC的中點，且，∠BDC=90°，求證：BD⊥平面ACD．

Answer 1

【答案】分析：欲證BD⊥平面ACD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面ACD內兩相交直線垂直，取CD的中點G，連接EG，FG，根據勾股定理可證得EG⊥FG，又BD⊥CD，AC∩CD=C，結論得證．
解答：證明：取CD的中點G，連接EG，FG，∵E，F分別為AD，BC的中點，
∴EG；FGBD，又AC=BD，∴，
∴在△EFG中，
∴EG⊥FG，∴BD⊥AC，又∠BDC=90°，即BD⊥CD，AC∩CD=C，
∴BD⊥平面ACD．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．