Question

【題目】已知拋物線，的焦點為，過點的直線的斜率為，與拋物線交于，兩點，拋物線在點，處的切線分別為，，兩條切線的交點為．

（1）證明：；

（2）若的外接圓與拋物線有四個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）或

【解析】

（1）聯立直線與拋物線的方程，利用根于系數關系，結合斜率表達式求得即可；

（2）由（1）可知，圓是以為直徑的圓且圓的方程可化簡為，聯立圓與拋物線的方程得到，圓與拋物線有四個不同的交點等價于

解：（1）證明：依題意有，直線，

設，，，，直線與拋物線相交，

聯立方程消去，化簡得，

所以，．

又因為，所以直線的斜率．

同理，直線的斜率，

所以，，

所以，直線，即．

（2）由（1）可知，圓是以為直徑的圓，

設是圓上的一點，則，

所以，圓的方程為，

又因為，

所以，圓的方程可化簡為，

聯立圓與拋物線得

消去，得，

即，即，

若方程與方程有相同的實數根，

則，矛盾，

所以，方程與方程沒有相同的實數根，

所以，圓與拋物線有四個不同的交點等價于，

綜上所述，．