Question

將圓x²+y²=4上各點的縱坐標變為原來的一半（橫坐標保持不變），得到曲線C．

⑴ 求曲線C的方程；

⑵ 設O為坐標原點，過點F(, 0)的直線l交曲線C于A、B兩點，N為線段AB的中點，延長線段ON交曲線C于點E，求證：的充要條件是AB=3．

Answer 1

解．⑴設P(x₀, y₀)為圓C上任意一點，Q(x, y)的橫坐標與P相同，縱坐標為P的一半，

即x₀= x,  y₀=2y    

又P(x₀, y₀)滿足x₀²+y₀² = 4   則x²+4y² = 4

即 求曲線C的方程為     

⑵當l的斜率不存在時，、 AB=3都不成立； 

當l的斜率存在時，設斜率為k，

則A、B兩點的坐標(x₁, y₁)、(x₂,y₂)是方程組的解

整理，得：(1＋4k²)x²8k²x＋12k²4 =0

x₁＋x₂=, x₁x₂=      

∴N的坐標為x_N = ，y_N= k(x_N－) =

∴ON的方程為y= x

與C的方程聯立，得  

必要性（→AB=3）：由得 =2× =2 x_N

       ∴ k²=      

此時 AB=…=a－ex₁＋a－ex₂=2a－e(x₁＋x₂)=4－×=3

       ∴充分性成立

充分性（AB=3→）：

AB=…=a－ex₁＋a－ex₂=2a－e(x₁＋x₂)=4－×=3

       ∴ k²=

∴ = ，x_N = =  

∴ x_E =2 x_N            又E、N共線

       ∴必要性成立

綜上，的充要條件是AB=3．