Question

（2013•牡丹江一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
將圓x²+y²=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮至原來的

1

2

，所得曲線記作C； 直線l：ρ=

8

2cosθ+3sinθ

（I）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程
（II）求C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和“代點(diǎn)法”即可得出；
（Ⅱ）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用相切時(shí)的切點(diǎn)即可得出．

解答：解：（Ⅰ）①由直線l：ρ=

8

2cosθ+3sinθ

，化為2ρcosθ+3ρsinθ=8，2x+3y=8；
②設(shè)要求的曲線C上的點(diǎn)P（x，y）是由圓x²+y²=4上點(diǎn)P′（x′，y′）的縱坐標(biāo)壓縮至原來的

1

2

而得到的，
則

x=x′ y= 1 2 y′

，解得

x′=x y′=2y

，而（x′）²+（y′）²=4，
∴x²+（2y）²=4，化為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)直線m∥l且m與橢圓相切，則直線m的方程可設(shè)為2x+3y+t=0，聯(lián)立

2x+3y+t=0 x2+4y2=4

，
消去y得到25x²+16tx+4t²-36=0，
∵相切，
∴△=（16t）²-100（4t²-36）=0，解得t=±5．
可以知道當(dāng)t=5時(shí)，得到的切點(diǎn)到直線l的距離最大．
把t=5代入（*）得（5x+8）²=0，解得x=-

8

5

，代入2x+3y+5=0，解得y=-

3

5

，
∴切點(diǎn)為(-

8

5

，-

3

5

)．
由點(diǎn)到直線的距離公式即可得切點(diǎn)到直線l：2x+3y-8=0的距離d=

|2×(- 8 5 )+3×(- 3 5 )-8|

22+32

=

13

，即為所求的最大值．

點(diǎn)評：熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和“代點(diǎn)法”、直線與橢圓相切問題?△=0是解題的關(guān)鍵．