Question

【題目】已知函數.

(1) 時，證明： ；

(2)當時，直線和曲線切于點，求實數的值；

(3)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件構造函數，運用導數知識求出其最小值，從而使得不等式獲證；（2）先設切點坐標為， ，然后建立方程組，求得.進而得到；（3）依據題設條件將不等式轉化為恒成立， 進而分離參數，構造函數，將問題轉化為求函數的最小值來求解：

解：(1)記，

∵，

令得，

當， ， 遞減；當， ， 遞增，

∴，

，

得.

(2)切點為， ，則

，∴，

∵，∴由(1)得.

所以.

(3)由題意可得恒成立，

所以，

下求的最小值，

，

由(1) 知且.

所以， 遞減，

∵，∴.

所以.