已知函數
（其中
且
），
是
的反函數.
（1）已知關于
的方程
在區間
上有實數解，求實數
的取值范圍；
（2）當
時，討論函數的奇偶性和增減性；
（3）設
，其中
.記
，數列
的前
項的和為
（
），
求證：
.
(1)
；(2)奇函數，減函數；(3)證明見解析．
解析試題分析：(1)這是一個對數方程，首先要轉化為代數方程，根據對數的性質有
，從而有
，方程在
上有解，就變為求函數在上的值域，轉化時注意對數的真數為正；(2)奇偶性和單調性我們都根據定義加以解決；(3)
，
，要證明不等式成立，最好是能把和
求出來，但看其通項公式
，這個和是不可能求出的，由于我們只要證明不等式
，那么我們能不能把放縮后可求和呢？
，顯然
，即
，左邊易證，又由二項式定理
，在
時，
，所以
，注意到
，至此不等式的右邊可以求和了，
，得證．
試題解析：（1）
轉化為求函數
在
上的值域，
該函數在
上遞增、在
上遞減，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范圍為
。 4分
（2）的定義域為
， 5分
定義域關于原點對稱，又
， 
，所以函數為奇函數。 6分
下面討論在
上函數的增減性.
任取
、
，設
，令
，則
，
，所以
因為
，
，，所以
. 7分
又當時，
是減函數，所以
.由定義知在上函數是減函數. 8分
又因為函數是奇函數，所以在
上函數也是減函數. 9分
（3）
； 10分
因為，，所以
，
。 11分
設
，
時，則
， 12分
且
， 13分
由二項式定理
， 14分
所以
，
從而
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然數的底數，a∈R.
(1)當a<0時，解不等式f(x)>0；
(2)若f(x)在[－1，1]上是單調函數，求a的取值范圍；
(3)當a＝0時，求整數k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝
若f(－1)＝0，且對任意實數x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表達式；
(2)當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）某醫藥研究所開發的一種新藥,如果成年人按規定的劑量服用,據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量
（單位：微克）與時間
（單位：小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（Ⅰ）寫出第一次服藥后與之間的函數關系式
；
（Ⅱ）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于
微克時，治療有效．問：服藥多少小時開始有治療效果？治療效果能持續多少小時？（精確到0．1）（參考數據：
）．
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；
，x∈[3，5]；
(x>1)．
.
的單調區間；
，求函數
．
的奇偶性并證明；
時，求函數
.
的不等式
；
在區間
上恒成立，求實數
的取值范圍.
，其中
為常數
為奇函數，試確定
恒成立，求實數