Question

【題目】已知函數，其中；

（Ⅰ）若函數在處取得極值，求實數的值，

（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，若關于的不等式，當時恒成立，求的值.

（Ⅲ）令，若關于的方程在內至少有兩個解，求出實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3)

【解析】分析: （Ⅰ）函數在處取得極值，當時，，即可求實數的值，
（Ⅱ）當時，，整理得得，求出右邊的最小值，即可求的值；
（Ⅲ）令，構造函數，即方程在區間上只少有兩個解，又，所以方程在區間上有解，分類討論，即可求出實數的取值范圍．

詳解：（Ⅰ）

當時，，解得

經驗證滿足條件，

（Ⅱ）當時，

整理得

令，

則，

所以，即

∴

（Ⅲ）

令,，構造函數

即方程在區間上只少有兩個解

又，所以方程在區間上有解

當時，，即函數在上是增函數，且，

所以此時方程在區間上無解

當時，，同上方程無解

當時，函數在上遞增，在上遞減，且

要使方程在區間上有解，則，即

所以此時

當時，函數在上遞增，在上遞減，且，

此時方程在內必有解，

當時，函數在上遞增，在上遞減，且

所以方程在區間內無解

綜上，實數的范圍是