【題目】已知常數
,函數
.
(1)討論
在區間
上的單調性;
(2)若
存在兩個極值點
,且
,求
的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析 (2) 
【解析】試題分析:(1)首先對函數
求導并化簡得到導函數
,導函數的分母恒大于0,分子為含參的二次函數,故討論分子的符號,確定導函數符號得到原函數的單調性,即分
和
得到導函數分子大于0和小于0的解集進而得到函數的單調性.
(2)利用第(1)可得到當
時,導數等于0有兩個根,根據題意即為兩個極值點,首先導函數等于0的兩個根必須在原函數
的可行域內,把
關于
的表達式帶入
,得到關于
的不等式,然后利用導函數討論
的取值范圍使得
成立.即可解決該問題.
(1)對函數
求導可得
,因為
,所以當
時,即
時, 
恒成立,則函數
在
單調遞增,當
時, 
,則函數
在區間
單調遞減,在
單調遞增的.
(2)解:(1)對函數
求導可得
,因為
,所以當
時,即
時, 
恒成立,則函數
在
單調遞增,當
時, 
,則函數
在區間
單調遞減,在
單調遞增的.
(2)函數
的定義域為
,由(1)可得當
時, 
,則
,即
,則
為函數
的兩個極值點,代入
可得
= 
令
,令
,由
知: 當
時, 
, 當
時, 
,
當
時, 
,對
求導可得
,所以函數
在
上單調遞減,則
,即
不符合題意.
當
時, 
,對
求導可得
,所以函數
在
上單調遞減,則
,即
恒成立,
綜上
的取值范圍為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合
，對于
的一個子集
，若存在不大于
的正整數
，使得對中的任意一對元素
、
，都有
，則稱具有性質
.
（1）當
時，試判斷集合
和
是否具有性質？并說明理由；
（2）當
時，若集合具有性質.
①那么集合
是否一定具有性質？并說明理由；
②求集合中元素個數的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一種室內植物的株高
（單位：
）與與一定范圍內的溫度
（單位：
）有，現收集了該種植物的
組觀測數據，得到如圖所示的散點圖：
現根據散點圖利用
或
建立關于的回歸方程，令
，
，得到如下數據：
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|
且
與
的相關系數分別為
、
，其中
．
（1）用相關系數說明哪種模型建立關于的回歸方程更合適；
（2）（i）根據（1）的結果及表中數據，求關于的回歸方程；
（ii）已知這種植物的利潤
（單位：千元）與、的關系為
，當何值時，利潤的預報值最大.
附：對于樣本
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
，
相關系數
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，傾斜角為
的直線
的參數方程為
（
為參數）.以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點
，若點
的極坐標為
，直線經過點且與曲線相交于
兩點，設線段
的中點為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學中僅有一人申請了北京大學的自主招生考試，當他們被問到誰申請了北京大學的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學的自主招生考試的同學是______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
；
（Ⅰ）若函數
在
處取得極值，求實數
的值，
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，若關于
的不等式
，當
時恒成立，求
的值.
（Ⅲ）令
，若關于的方程
在
內至少有兩個解，求出實數的取值范圍.
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