【題目】已知集合
，對于
的一個子集
，若存在不大于
的正整數
，使得對中的任意一對元素
、
，都有
，則稱具有性質
.
（1）當
時，試判斷集合
和
是否具有性質？并說明理由；
（2）當
時，若集合具有性質.
①那么集合
是否一定具有性質？并說明理由；
②求集合中元素個數的最大值.
【答案】（1）
不具有性質
，
具有性質，理由見解析；（2）①
具有性質，理由見解析；②
.
【解析】
（1）當
時，集合
，
，根據性質的定義可知其不具有性質；
，令
，利用性質的定義即可驗證；
（2）當
，則
.
①根據
，任取
，其中
，可得
，利用性質的定義加以驗證即可說明集合具有性質；
②設集合
有
個元素，由①可知，任給
，
，則
與
中必有
個不超過
，從而得到集合與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過，然后利用性質的定義進行分析即可求得
，即
，解此不等式得
.
（1）當時，集合
，不具有性質.
因為對任意不大于
的正整數
，
都可以找到該集合中的兩個元素
與
，使得
成立.
集合具有性質.
因為可取，對于該集合中任一元素
，
，
、
.
都有
；
（2）當時，則.
①若集合具有性質，那么集合一定具有性質.
首先因為，任取，其中.
因為
，所以
.
從而，即
，所以
.
由具有性質，可知存在不大于的正整數，
使得對中的任意一對元素
、
，都有
.
對于上述正整數，從集合中任取一對元素
，
，其中
、
，則有
.
所以，集合具有性質；
②設集合有個元素，由①可知，若集合具有性質，那么集合一定具有性質.
任給，，則與中必有一個不超過.
所以集合與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過.
不妨設中有
個元素
、
、
、
不超過.
由集合具有性質，可知存在正整數
.
使得對中任意兩個元素、，都有.
所以一定有
、
、、
.
又
，故、、、
.
即集合
中至少有
個元素不在子集中，
因此，所以，得.
當
時，取
，則易知對集合中的任意兩個元素
、
，都有
，即集合具有性質.
而此時集合中有個元素，因此，集合元素個數的最大值為.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，B,C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50
處．從海島A到城市C，先乘船按北偏西θ角（
，其中銳角
的正切值為
）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C．已知船速為25km/h，車速為75km/h.
（1）試建立由A經P到C所用時間與
的函數解析式；
（2）試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產品推銷員，日工資方案如下: 甲公司規定底薪80元，每銷售一件產品提成1元; 乙公司規定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元.
（1）請將兩家公司各一名推銷員的日工資
(單位: 元) 分別表示為日銷售件數
的函數關系式;
（2）從兩家公司各隨機選取一名推銷員，對他們過去100天的銷售情況進行統計，得到如下條形圖.若將該頻率視為概率，分別求甲、乙兩家公司一名推銷員的日工資超過125元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發現年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統計量的值.
(1)根據表中數據建立年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程；
(2)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為
，根據(1)中的結果回答下列問題：
①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?
②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.
附：回歸方程
中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，且
）.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）求函數
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的單調增區間為
，單調減區間為
.（Ⅱ）當
時， 
；當
時， 
.
【解析】【試題分析】(I)利用
的二階導數來研究求得函數
的單調區間.(II) 由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，由此可知
.利用導數和對
分類討論求得函數在
不同取值時的最大值.
【試題解析】
（Ⅰ）
，
設
，則
.
∵
， 
，∴
在
上單調遞增，
從而得
在
上單調遞增，又∵
，
∴當
時， 
，當
時， 
，
因此， 
的單調增區間為
，單調減區間為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
設
，
則
.
∵當
時， 
，∴
在
上單調遞增.
又∵
，∴當
時， 
；當
時， 
.
①當
時， 
，即
，這時， 
；
②當
時， 
，即
，這時， 
.
綜上， 
在
上的最大值為：當
時， 
；
當
時， 
.
[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與
軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；
（ Ⅱ ） 設直線 與軸和
軸的交點分別為
，
為圓上的任意一點，求
的取值范圍.
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