Question

如果直線l：x+y-b=0與曲線C：y=

1-x2

有公共點，那么b的取值范圍是______．

Answer 1

對于曲線C：y=

1-x2

，設x=cosα，則y=

1-cos2α

=sinα（0≤α≤π）
因此點M（cosα，sinα）是曲線C上的點，其中0≤α≤π
∵線l：x+y-b=0與曲線C有公共點
∴方程cosα+sinα-b=0，在區間[0，α]上有解
即b=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

）
∵α+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，可得sin（α+

π

4

）∈[-

2

2

，1]
∴b=

2

sin（α+

π

4

）∈[-1，

2

]
即直線l：x+y-b=0與曲線C：y=

1-x2

有公共點時，b的取值范圍是[-1，

2

]
故答案為：[-1，

2

]