Question

在直角坐標系xOy的第一象限，拋物線y=x²上，有一系列點B₁，B₂，…，B_n，…，它們在x軸上的投影分別是A₁，A₂，…，A_n，…，A₁，A₂，…A_n的順序自右向左，其中A₁的橫坐標是x₁=1，A₂的橫坐標為x₂，…，A_n的橫坐標為x_n，且A₂B₁的斜率為2x₁，A₃B₂的斜率為2x₂，…，A_n+1B_n的斜率是2x_n，…

　　(1)求和S₁=|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A_nB_n|+…．

(2)求和S₂=|B₁A₂|²+|B₂A₃|²+…+|B_nA_n+1|²+…．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意知A1(1，0)，∴　B1(1，1)．∴　x11． 　　∵　A2B12x12，∴　，，． 　　∵　，∴　，…， 　　設An(xn，0)，∵　Bn在yx2上，∴　Bn(xn，)， 　　∵　An1Bn斜率為2xn，∴　，∴　，∴　，∴　，∴　{xn}是以x11是首項，公比的等比數列． 　　又∵　|AnBn|，∴　{|AnBn|}是首項為1，公比為的等比數列，∴　． 　　(2)∵　|BnAn1|2|AnAn1|2|AnBn|2(xnxn1)2， 　　∴　 ．