Question

已知函數f（x）=|x²-1|，g（x）=x²+ax+4，（a∈R）
（1）若函數y=g（x）為偶函數，求實數a的值；
（2）當a=-6時，求h（x）=f（x）+g（x）的零點；
（3）若函數h（x）=f（x）+g（x）在（0，2）上有兩個不同的零點x₁，x₂，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點,函數奇偶性的判斷

專題：導數的概念及應用

分析：（1）根據g（x）=g（-x），x²+ax+4=x^2-ax+4，求出a，
（2）得出h（x）=f（x）+g（x）=

2x2-6x+3，x≤-1或x≥1 -6x+5．-1＜x＜1

，根據單調性求解即可．
（3）分離參數得出a=

-|x2-1|-x2-4

x

=

-(1-x2)-x2-4 x =- 5 x ，x∈(0，1) -(x2-1)-x2-4 x =-(2x+ 3 x )，x∈[1，2)

，運用函數圖象求解即可．

解答： 解；（1）∵g（x）=x²+ax+4為偶函數，
∴g（x）=g（-x），
∴x²+ax+4=x^2-ax+4，
∴a=0，
（2）當a=-6時，求h（x）=f（x）+g（x）=

2x2-6x+3，x≤-1或x≥1 -6x+5．-1＜x＜1

當-1＜x＜1時，由h（x）=-6x+5=0得x=

5

6

，
當x≤-1或x≥1時，由h（x）=2x²-6x+3=0得x=

3+ 3

2

，x=

3- 3

2

（舍去）
綜上知，h（x）的零點為

3+ 3

2

，

5

6

，
（3）函數h（x）=f（x）+g（x）=|x²-1|+x²+ax+4，
∴a=

-|x2-1|-x2-4

x

即a=

-|x2-1|-x2-4

x

=

-(1-x2)-x2-4 x =- 5 x ，x∈(0，1) -(x2-1)-x2-4 x =-(2x+ 3 x )，x∈[1，2)

x∈（0，1），y=-

5

x

單調遞增，且值域為（-∞，5）；                      
 x∈[1，2)，k(x)=-(2x+

3

x

)先增后減，
k(1)=-5，k(x)max=k(

6

2

)=-2

6

，k(2)=-

11

2

作出上述函數圖象，可得-

11

2

＜a＜-2

6

，

點評：本題考查了函數的性質，運用導數，函數的圖象，分離參數，解決函數的零點問題，綜合性較強，屬于難題．