Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x²+y²=1，O₁：（x-4）²+y²=4，動點P在直線x+$\sqrt{3}$y+b=0上，過P分別作圓O，O₁的切線，切點分別為A，B，若滿足PB=2PA的點P有且只有兩個，則實數(shù)b的取值范圍是（-4，$\frac{20}{3}$）．

Answer 1

分析 求出P的軌跡方程，由動點P在直線x+$\sqrt{3}$y+b=0上，滿足PB=2PA的點P有且只有兩個，
轉(zhuǎn)化為直線與圓x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，即可求出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：由題意O（0，0），O₁（4，0），設P（x，y），則
∵PB=2PA，
∴（x-4）²+y²=4（x²+y²），
∴x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0，
其圓心坐標為（-$\frac{4}{3}$，0），半徑為$\frac{8}{3}$；
∵動點P在直線x+$\sqrt{3}$y+b=0上，滿足PB=2PA的點P有且只有兩個，
∴該直線與圓x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，
∴圓心到直線的距離滿足d=$\frac{|-\frac{4}{3}+0+b|}{\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}}$＜$\frac{8}{3}$，
化簡得|b-$\frac{4}{3}$|＜$\frac{16}{3}$，
解得-4＜b＜$\frac{20}{3}$，
∴實數(shù)b的取值范圍是（-4，$\frac{20}{3}$）．
故答案為：（-4，$\frac{20}{3}$）．

點評 本題考查求點的軌跡方程以及直線與圓的位置關(guān)系的應用問題，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，是綜合性題目．