Question

mn＜0是方程

x2

m

+

y2

n

=1表示實軸在x軸上的雙曲線的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0兩種情況加以討論，可得mn＜0時，方程

x2

m

+

y2

n

=1不一定表示實軸在x軸上的雙曲線．反之當(dāng)方程

x2

m

+

y2

n

=1表示實軸在x軸上的雙曲線時，必定有mn＜0．由此結(jié)合充要條件的定義，即可得到本題答案．

解答：解：當(dāng)mn＜0時，分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0兩種情況
①當(dāng)m＜0、n＞0時，方程

x2

m

+

y2

n

=1表示焦點在y軸上的雙曲線；
②當(dāng)m＞0、n＜0時，方程

x2

m

+

y2

n

=1表示焦點在x軸上的雙曲線
因此，mn＜0時，方程

x2

m

+

y2

n

=1不一定表示實軸在x軸上的雙曲線．
而方程

x2

m

+

y2

n

=1表示實軸在x軸上的雙曲線時，m＞0、n＜0，必定有mn＜0
由此可得：mn＜0是方程

x2

m

+

y2

n

=1表示實軸在x軸上的雙曲線的必要而不充分條件
故選：B

點評：本題給出兩個條件，判斷方程表示焦點在x軸上雙曲線的充要條件．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、充要條件的判斷等知識，屬于中檔題．