Question

10．已知橢圓C的兩個焦點分別為${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}）$，${F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，長軸長為6．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，試探究原點O是否在以線段AB為直徑的圓上．

Answer 1

分析 （1）根據題意，分析可得c、a的值，由橢圓的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計算可得答案；
（2）設出A、B的坐標，以及AB的方程，聯立直線與橢圓的方程可得10x²+36x+27=0，由根與系數的關系分析計算$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值，分析即可得答案．

解答 解：（1）根據題意得：$c=2\sqrt{2}$，a=3，所以b=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+{y^2}=1\\ y=x+2\end{array}\right.$得：10x²+36x+27=0，△＞0，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}$，${x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2{x_1}{x_2}+2（{{x_1}+{x_2}}）+4=\frac{27}{5}-\frac{36}{5}+4=\frac{11}{5}≠0$，
∴原點O不在以線段AB為直徑的圓上．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，涉及直線與橢圓的位置關系，關鍵是求出橢圓的標準方程．