Question

3．已知向量|$\overrightarrow{e}$|=1，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{e}$的夾角為α，$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{e}$的夾角為β，根據向量的數量積公式和向量的模表示出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}β}$）-2，根據三角函數的性質即可求出答案．

解答 解：設向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{e}$的夾角為α，$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{e}$的夾角為β，
∵$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{e}$|=1，
∴（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow{a}$²cos²α=1，（$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow{b}$4cos²β=4，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²）-2=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}β}$）-2，
當cos²α=cos²β=1時，有最小值，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最小值為$\frac{1}{2}$（1+4）-2=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了向量的數量積的運算，關鍵是構造三角函數，屬于中檔題．