Question

13．設不等式$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ y≤-kx+4k\end{array}\right.$，（其中k＞0）在平面直角坐標系中所表示的區域為Ω，其面積為S，若C：（x-4）²+（y-3）²=4與區域Ω有公共點時，求S的最小值為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 畫出可行域，利用C：（x-4）²+（y-3）²=4與區域Ω有公共點S取得最小值時，直線與圓相切，求出k的值，然后求解面積為S的最小值．

解答 解：不等式$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ y≤-kx+4k\end{array}\right.$，（其中k＞0）在平面直角坐標系中所表示的區域為Ω，如圖：

在平面直角坐標系中所表示的區域為Ω，C：（x-4）²+（y-3）²=4與區域Ω有公共點，S取得最小值時，
直線與圓相切，則
可得：$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，k＞0，k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查直線與圓的位置關系，是中檔題．