Question

已知指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）若f（x）的圖象過點（1，2），求其解析式；
（Ⅱ）若g(x)=

f(x)-1

f(x)+1

，且不等式g（x²+x）＞g（3-x）成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象過點（1，2），求得a=2，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由以上可得g（x）的解析式，由解析式可得函數(shù)g（x）在定義域上單調(diào)遞增，故由不等式g（x²+x）＞g（3-x）成立，可得 x²+x＞3-x，由此解得x的范圍

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象過點（1，2），∴a=2，∴f（x）=2^x．
（Ⅱ）由以上可得 g(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，∵g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∴由不等式g（x²+x）＞g（3-x）成立，可得 x²+x＞3-x，即x²+2x-3＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．