Question

（本小題10分）已知圓C：x2＋（y－3）2＝4，一動直線l過A（－1,0）與圓C相交于P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于點N.

（Ⅰ）求證：當(dāng)l與m垂直時，l經(jīng)過圓心C；

（Ⅱ）當(dāng)＝2時，求直線l的方程;

（Ⅲ）請問：是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)已知求出直線方程后再驗證圓心滿足所求直線方程；（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則＝r2－d2.利用此公式即可求得直線方程，注意斜率的討論；（Ⅲ）有關(guān)探索性問題，一般是先假設(shè)存在滿足題意的元素，經(jīng)過推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的結(jié)果，則說明假設(shè)不存在．

試題解析：（1）∵直線l與直線垂直，且

∴，又

,即圓心在直線上.

當(dāng)直線l與m垂直時，直線l必過圓心C. 3分

（2）①當(dāng)直線l與軸垂直時，易知符合題意． 4分

②當(dāng)直線l與軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為，即．

，．

則由，得．

∴直線l：．

從而所求直線l的方程為或 6分

（3），

∴

①當(dāng)直線l與軸垂直，易得，則

又，

∴ 7分

②當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，

則由，得． 8分

則．

∴． 9分

綜上，與直線l的斜率無關(guān)，且． 10分

考點：解析幾何的綜合應(yīng)用