Question

3．如圖，三棱柱ABCA₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁垂直底面A₁B₁C₁，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（　　）

• A． CC₁與B₁E是異面直線
• B． AE與B₁C₁是異面直線，且AE⊥B₁C₁
• C． AC⊥平面ABB₁A₁
• D． A₁C₁∥平面AB₁E

Answer 1

分析 在A中，CC₁與B₁E在同一個(gè)側(cè)面中；
在B中，AE，B₁C₁為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中點(diǎn)，故AE與B₁C₁是異面直線，且AE⊥B₁C₁；
在C中，上底面ABC是一個(gè)正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB₁A₁；
在D中，A₁C₁所在的平面與平面AB₁E相交，且A₁C₁與交線有公共點(diǎn)．

解答 解：由三棱柱ABCA₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁垂直底面A₁B₁C₁，
底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中點(diǎn)，知：
在A中，因?yàn)镃C₁與B₁E在同一個(gè)側(cè)面中，故CC₁與B₁E不是異面直線，故A錯(cuò)誤；
在B中，因?yàn)锳E，B₁C₁為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，
又底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中點(diǎn)，故AE⊥B₁C₁，故B正確；
在C中，由題意知，上底面ABC是一個(gè)正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB₁A₁，故C錯(cuò)誤；
在D中，因?yàn)锳₁C₁所在的平面與平面AB₁E相交，且A₁C₁與交線有公共點(diǎn)，故A₁C₁∥平面AB₁E不正確，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．