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(2013•紅橋區二模)已知橢圓:
x2
a2
+
y2
b2
=l(a>b>0)的一個頂點坐標為B(0,1),若該橢圓的離心率等于
3
2

(1)求橢圓的方程.
(2)設Q是橢圓上任意一點,F1F2分別是左、右焦點,求∠F1QF2的取值范圍;
(3)以B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC,判斷這樣的三角形存在嗎?若存在,有幾個?若不存在,請說明理由.
分析:(1)由題意可得b,由離心率等于
3
2
結和a2=b2+c2可求a,則橢圓的方程可求;
(2)在三角形F1QF2中,利用橢圓定義及余弦定理可求∠F1QF2的取值范圍;
(3)假設這樣的三角形存在,設AB的方程為y=kx+1(k>0),則BC的方程為y=-
1
k
x+1
.把兩直線分別和橢圓聯立后求出A、C點的橫坐標,由|AB|=|AC|得到含有A、C橫坐標的等式,把A、C的橫坐標代入等式后即可求得k的值.
解答:解:(1)依題意,b=1,因為橢圓的離心率等于
3
2
,
所以
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
1
a2
=
3
4
,解得a2=4,
所以橢圓的方程為
x2
4
+y2=1

(2)設|QF1|=m,|QF2|=n,則m+n=4,|F1F2|=2
3
,
在三角形F1QF2中,由余弦定理得:
cos∠F1QF2=
m2+n2-12
2mn
=
(m+n)2-2mn-12
2mn

=
4-2mn
2mn
=
2
mn
-1≥
2
(m+n)2
4
-1=-
1
2

當且僅當m=n時“=”成立.
所以-
1
2
≤cos∠F1QF2≤1
,故0°≤∠F1QF2≤120°;
(3)假設這樣的三角形存在,設AB的方程為y=kx+1(k>0),
則BC的方程為y=-
1
k
x+1

聯立
y=kx+1
x2+4y2=4
,得(4k2+1)x2+8kx=0,解得xA=-
8k
1+4k2
①.
聯立
y=-
1
k
x+1
x2+4y2=4
,得xC=-
8k
4+k2
②.
因為|AB|=|AC|,所以xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2,
yA=kxA+1,yC=-
1
k
xC+1
代入得:
k2(4+k22=(4k2+1)2,即[k(4+k2)+1+4k2][k(4+k2)-(1+4k2)]=0.
因為k>0,k(4+k2)+1+4k2>0,得(k-1)(k2-3k+1)=0,
解得k=1,k=
3+
5
2
,k=
3-
5
2
,
所以存在這樣的等腰直角三角形.
點評:本題考查了橢圓的標準方程,考查了直線和圓錐曲線的關系,訓練了利用橢圓定義及余弦定理求解橢圓中與三角形有關的問題,考查了數學轉化思想方法,考查了學生的計算能力,是難題.
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