Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系.已知點軌跡的參數方程為（，為參數），點在曲線上.

（1）求點軌跡的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的直角坐標方程為;(2) .

【解析】分析：（1）消去參數，即可得普通方程，注意變量的范圍；

（2）點在曲線上，化為直角方程即為圓，數形結合利用圓和線段的關系求最值即可.

詳解：

（1）由消去參數，得.

又，∴.

故點軌跡的變通方程是.

∵，∴，∴，即.

故曲線的直角坐標方程為.

（2）如圖：

由題意可得，點在線段上，點在圓上，

∵圓的圓心到直線的距離，

∴直線與圓相切，且切點為.

易知線段上存在一點，

則點與圓心的連線，與圓的交點滿足取最大值.

即當點坐標為時，取最大值.

∵，

∴的最大值為.