【題目】在平行四邊形中,
,
,
,
是EA的中點(如圖1),將
沿CD折起到圖2中
的位置,得到四棱錐是
.
(1)求證:平面PDA;
(2)若PD與平面ABCD所成的角為.且
為銳角三角形,求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析; (2)
【解析】
(1)證明,
,即可證明線面垂直;
(2)由線面角求得,以
中點
為坐標原點建立直角坐標系,由向量法求得二面角的余弦值.
(1)將沿CD折起過程中,
平面PDA成立.證明如下:
是EA的中點,
,
,
在中,由余弦定理得,
,
,
,
為等腰直角三角形且
,
,
,
,
平面PDA.
(2)由(1)知平面PDA,
平面ABCD,
平面
平面ABCD,
為銳角三角形,
在平面ABCD內的射影必在棱AD上,記為O,連接PO,
平面ABCD,
則是PD與平面ABCD所成的角,
,
,
為等邊三角形,O為AD的中點,
故以O為坐標原點,過點O且與CD平行的直線為x軸,
DA所在直線為y軸,OP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
設x軸與BC交于點M,
,
易知
,
則,
,
,
,
,
,
,
平面PDA,
可取平面PDA的一個法向量
,
設平面PBC的法向量,
則,即
,
令,則
為平面PBC的一個法向量,
設平面PAD和平面PBC所成的角為,
由圖易知為銳角,
.
平面PAD和平面PBC所成角的余弦值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】若拋物線的焦點為
,
是坐標原點,
為拋物線上的一點,向量
與
軸正方向的夾角為60°,且
的面積為
.
(1)求拋物線的方程;
(2)若拋物線的準線與
軸交于點
,點
在拋物線
上,求當
取得最大值時,直線
的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視,有機、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費者的歡迎,同時生產—運輸—銷售一體化的直銷供應模式,不僅減少了成本,而且減去了蔬菜的二次污染等問題.
(1)在有機蔬菜的種植過程中,有機肥料使用是必不可少的.根據統計某種有機蔬菜的產量與有機肥料的用量有關系,每個有機蔬菜大棚產量的增加量(百斤)與使用堆漚肥料
(千克)之間對應數據如下表
使用堆漚肥料 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
產量的增加量 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
依據表中的數據,用最小二乘法求出關于
的線性回歸方程
;并根據所求線性回歸方程,估計如果每個有機蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克,則每個有機蔬菜大棚產量增加量
是多少百斤?
(2)某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客,如果當天前8小時賣不完,則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客(根據經驗,當天能夠把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢,且處理完畢后,當天不再進貨).該生鮮超市統計了100天有機蔬菜在每天的前8小時內的銷售量(單位:份),制成如下表格(注:,且
);
前8小時內的銷售量(單位:份) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
頻數 | 10 | x | 16 | 6 | 15 | 13 | y |
若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發生的概率,該生鮮超市當天銷售有機蔬菜利潤的期望值為決策依據,當購進17份比購進18份的利潤的期望值大時,求的取值范圍.
附:回歸直線方程為,其中
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某學校為進一步規范校園管理,強化飲食安全,提出了“遠離外賣,健康飲食”的口號.當然,也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求.在學期末,校學生會為了調研學生對本校食堂A部和B部的用餐滿意度,從在A部和B部都用過餐的學生中隨機抽取了200人,每人分別對其評分,滿分為100分.隨后整理評分數據,將分數分成6組:第1組,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,第6組
,得到A部分數的頻率分布直方圖和B部分數的頻數分布表.
分數區間 | 頻數 |
7 | |
18 | |
21 | |
24 | |
70 | |
60 |
定義:學生對食堂的“滿意度指數”
分數 | ||||||
滿意度指數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
(1)求A部得分的中位數(精確到小數點后一位);
(2)A部為進一步改善經營,從打分在80分以下的前四組中,采用分層抽樣的方法抽取8人進行座談,再從這8人中隨機抽取3人參與“端午節包粽子”實踐活動,在第3組抽到1人的情況下,第4組抽到2人的概率;
(3)如果根據調研結果評選學生放心餐廳,應該評選A部還是B部(將頻率視為概率)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C1:x2=2py(p>0),圓C2:x2+y2﹣8y+12=0的圓心M到拋物線C1的準線的距離為,點P是拋物線C1上一點,過點P,M的直線交拋物線C1于另一點Q,且|PM|=2|MQ|,過點P作圓C2的兩條切線,切點為A、B.
(Ⅰ)求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)求直線PQ的方程及的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了更好地支持“中小型企業”的發展,某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免,某機構調查了當地的中小型企業年收入情況,并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖,下面三個結論:
①樣本數據落在區間的頻率為0.45;
②如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策,估計有55%的當地中小型企業能享受到減免稅政策;
③樣本的中位數為480萬元.
其中正確結論的個數為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】高三年級某班50名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區間為:.其中a,b,c成等差數列且
.物理成績統計如表.(說明:數學滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數 | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據頻率分布直方圖,請估計數學成績的平均分;
(2)根據物理成績統計表,請估計物理成績的中位數;
(3)若數學成績不低于140分的為“優”,物理成績不低于90分的為“優”,已知本班中至少有一個“優”同學總數為6人,從此6人中隨機抽取3人,記X為抽到兩個“優”的學生人數,求X的分布列和期望值.
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