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【題目】在平行四邊形中,EA的中點(如圖1),將沿CD折起到圖2的位置,得到四棱錐是

1)求證:平面PDA

2)若PD與平面ABCD所成的角為.且為銳角三角形,求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析; 2

【解析】

1)證明,即可證明線面垂直;

2)由線面角求得,以中點為坐標原點建立直角坐標系,由向量法求得二面角的余弦值.

1)將沿CD折起過程中,平面PDA成立.證明如下:

EA的中點,

中,由余弦定理得,

為等腰直角三角形且

平面PDA

2)由(1)知平面PDA平面ABCD

平面平面ABCD

為銳角三角形,

在平面ABCD內的射影必在棱AD上,記為O,連接PO平面ABCD

PD與平面ABCD所成的角,

為等邊三角形,OAD的中點,

故以O為坐標原點,過點O且與CD平行的直線為x軸,

DA所在直線為y軸,OP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

x軸與BC交于點M

易知

平面PDA

可取平面PDA的一個法向量

設平面PBC的法向量

,即

,則為平面PBC的一個法向量,

設平面PAD和平面PBC所成的角為

由圖易知為銳角,

平面PAD和平面PBC所成角的余弦值為

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】若拋物線的焦點為是坐標原點,為拋物線上的一點,向量軸正方向的夾角為60°,且的面積為.

1)求拋物線的方程;

2)若拋物線的準線與軸交于點,點在拋物線上,求當取得最大值時,直線的方程.

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【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視,有機、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費者的歡迎,同時生產—運輸—銷售一體化的直銷供應模式,不僅減少了成本,而且減去了蔬菜的二次污染等問題.

(1)在有機蔬菜的種植過程中,有機肥料使用是必不可少的.根據統計某種有機蔬菜的產量與有機肥料的用量有關系,每個有機蔬菜大棚產量的增加量(百斤)與使用堆漚肥料(千克)之間對應數據如下表

使用堆漚肥料(千克)

2

4

5

6

8

產量的增加量(百斤)

3

4

4

4

5

依據表中的數據,用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;并根據所求線性回歸方程,估計如果每個有機蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克,則每個有機蔬菜大棚產量增加量是多少百斤?

(2)某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客,如果當天前8小時賣不完,則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客(根據經驗,當天能夠把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢,且處理完畢后,當天不再進貨).該生鮮超市統計了100天有機蔬菜在每天的前8小時內的銷售量(單位:份),制成如下表格(注:,且);

前8小時內的銷售量(單位:份)

15

16

17

18

19

20

21

頻數

10

x

16

6

15

13

y

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發生的概率,該生鮮超市當天銷售有機蔬菜利潤的期望值為決策依據,當購進17份比購進18份的利潤的期望值大時,求的取值范圍.

附:回歸直線方程為,其中.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖1,在中, 分別為的中點,點為線段上的一點,將沿折起到的位置,使,如圖2.

(1)求證:

(2)線段上是否存在點,使平面?說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某學校為進一步規范校園管理,強化飲食安全,提出了遠離外賣,健康飲食的口號.當然,也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求.在學期末,校學生會為了調研學生對本校食堂A部和B部的用餐滿意度,從在A部和B部都用過餐的學生中隨機抽取了200人,每人分別對其評分,滿分為100分.隨后整理評分數據,將分數分成6組:第1,第2,第3,第4,第5,第6,得到A部分數的頻率分布直方圖和B部分數的頻數分布表.

分數區間

頻數

7

18

21

24

70

60

定義:學生對食堂的滿意度指數

分數

滿意度指數

0

1

2

3

4

5

1)求A部得分的中位數(精確到小數點后一位);

2A部為進一步改善經營,從打分在80分以下的前四組中,采用分層抽樣的方法抽取8人進行座談,再從這8人中隨機抽取3人參與端午節包粽子實踐活動,在第3組抽到1人的情況下,第4組抽到2人的概率;

3)如果根據調研結果評選學生放心餐廳,應該評選A部還是B部(將頻率視為概率)

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在四面體中,已知.

1)當四面體體積最大時,求的值;

2)當時,設四面體的外接球球心為,求和平面所成夾角的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知拋物線C1x22pyp0),圓C2x2+y28y+120的圓心M到拋物線C1的準線的距離為,點P是拋物線C1上一點,過點PM的直線交拋物線C1于另一點Q,且|PM|2|MQ|,過點P作圓C2的兩條切線,切點為AB

)求拋物線C1的方程;

)求直線PQ的方程及的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】為了更好地支持中小型企業的發展,某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免,某機構調查了當地的中小型企業年收入情況,并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖,下面三個結論:

樣本數據落在區間的頻率為0.45

如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策,估計有55%的當地中小型企業能享受到減免稅政策;

樣本的中位數為480萬元.

其中正確結論的個數為( )

A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】高三年級某班50名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區間為:.其中abc成等差數列且.物理成績統計如表.(說明:數學滿分150分,物理滿分100分)

分組

頻數

6

9

20

10

5

1)根據頻率分布直方圖,請估計數學成績的平均分;

2)根據物理成績統計表,請估計物理成績的中位數;

3)若數學成績不低于140分的為“優”,物理成績不低于90分的為“優”,已知本班中至少有一個“優”同學總數為6人,從此6人中隨機抽取3人,記X為抽到兩個“優”的學生人數,求X的分布列和期望值.

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