Question

【題目】已知拋物線C1：x2＝2py（p＞0），圓C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心M到拋物線C1的準線的距離為，點P是拋物線C1上一點，過點P，M的直線交拋物線C1于另一點Q，且|PM|＝2|MQ|，過點P作圓C2的兩條切線，切點為A、B．

（Ⅰ）求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2＝2y；（Ⅱ）21

【解析】

（Ⅰ）由已知條件推導出4，由此能求出拋物線C1的方程．

（Ⅱ）設PQ的方程：y＝kx+4，由，得x2﹣2kx﹣8＝0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線PQ的方程及的值．

（Ⅰ），∴M（0,4），

拋物線的準線方程是y，

依題意：4，∴p＝1，

∴拋物線C1的方程為：x2＝2y．

（Ⅱ）設PQ的方程：y＝kx+4，

由，得x2﹣2kx﹣8＝0，設P（x1,y1），Q（x2,y2），

則，

∵|PM|＝2|MQ|，∴，∴﹣x1＝2x2，①

又x1+x2＝2k，…②，x1x2＝﹣8，③，

由①②③得k＝±1，

∴PQ的方程為：y＝±x+4．

取PQ的方程：y＝x+4，和拋物線x2＝2y，聯立得P點坐標為P（4,8）

∴||＝4，連接AM，BM，||＝||，

設∠APM＝α，則sinα，

∴||||cos2α

＝28（1﹣2sin2α）＝21．