Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A₁A=AB=AD=2BC=2，點E在棱AB上，平面A₁EC與棱C₁D₁相交于點F．
（Ⅰ）證明：A₁F∥平面B₁CE；
（Ⅱ）若E是棱AB的中點，求二面角A₁-EC-D的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐B₁-A₁EF的體積的最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，從而A₁F∥EC，由此能證明A₁F∥平面B₁CE．
（Ⅱ）以AB，AD，AA₁分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A₁-EC-D的余弦值．
（Ⅲ）過點F作FM⊥A₁B₁于點M，則FM⊥平面A₁ABB₁，由此能求出當F與點D₁重合時，三棱錐B₁-A₁EF的體積的最大值為

4

3

．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．
又因為平面ABCD∩平面A₁ECF=EC，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面A₁ECF=A₁F，
所以A₁F∥EC．…（2分）
又因為A₁F?平面B₁CE，EC?平面B₁CE，
所以A₁F∥平面B₁CE．…（4分）
（Ⅱ）解：因為AA₁⊥底面ABCD，∠BAD=90°，
所以AA₁，AB，AD兩兩垂直，以A為原點，
以AB，AD，AA₁分別為x軸、y軸和z軸，
如圖建立空間直角坐標系．…（5分）
則A₁（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），
所以 

A1E

=(1，0，-2)，

A1C

=(2，1，-2)．
設平面A₁ECF的法向量為

m

=(x，y，z)，
由

A1E

•

m

=0，

A1C

•

m

=0，
得

x-2z=0 2x+y-2z=0.

令z=1，得

m

=(2，-2，1)．…（7分）
又因為平面DEC的法向量為

n

=(0，0，1)，…（8分）
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

3

，
由圖可知，二面角A₁-EC-D的平面角為銳角，
所以二面角A₁-EC-D的余弦值為

1

3

．…（10分）
（Ⅲ）解：過點F作FM⊥A₁B₁于點M，
因為平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，FM?平面A₁B₁C₁D₁，
所以FM⊥平面A₁ABB₁，
所以VB1-A1EF=VF-B1A1E=

1

3

×S△A1B1E×FM…（12分）
=

1

3

×

2×2

2

×FM=

2

3

FM．
因為當F與點D₁重合時，FM取到最大值2（此時點E與點B重合），
所以當F與點D₁重合時，三棱錐B₁-A₁EF的體積的最大值為

4

3

．…（14分）

點評：本題考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．