Question

已知函數f（x）=

x+3

x+1

，g（x）=|x-

a

x

|．
（1）a=-2時，求函數g（x）的最小值；
（2）若對?t∈[1，3]，在區(qū)間[1，3]總存在兩個不同的x，使得g（x）=f（t），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）當a=-2時，g（x）=|x+

2

x

|=|x|+|

2

x

|，利用基本不等式求最小值；
（2）當t∈[1，3]時，f（t）=1+

2

t+1

∈[

3

2

，2]；故對?t∈[1，3]，在區(qū)間[1，3]總存在兩個不同的x，使得g（x）=f（t）可化為方程g（x）=m，當m∈[

3

2

，2]時，在x∈[1，3]上有兩個不同的根，從而討論求解．

解答： 解：（1）當a=-2時，g（x）=|x+

2

x

|=|x|+|

2

x

|≥2

2

；
（當且僅當x=±

2

時，等號成立）；
故函數的最小值為2

2

；
（2）當t∈[1，3]時，f（t）=1+

2

t+1

∈[

3

2

，2]；
故對?t∈[1，3]，在區(qū)間[1，3]總存在兩個不同的x，使得g（x）=f（t）可化為
方程g（x）=m，當m∈[

3

2

，2]時，在x∈[1，3]上有兩個不同的根，
①當a=0時，g（x）=|x|，在[1，3]上單調遞增，舍去；
②當a＞0時，g（x）在（0，

a

）上單調遞減，在（

a

，+∞）上單調遞增；
則

1＜ a ＜3 g(1)≥2 g(3)≥2

；
解得，a=3；
③當a＜0時，g（x）在（0，

-a

）上單調遞減，在（

-a

，+∞）上單調遞增；
則

1＜ -a ＜3 2 -a ＜ 3 2 g(1)≥2 g(3)≥2

；無解；
綜上所述，a=3．

點評：本題考查了絕對值函數的最值的求法，同時考查了基本不等式的應用及恒成立問題，屬于中檔題．