Question

設F₁，F₂為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，且直線y=2x為雙曲線C的一條漸近線，點P為C上一點，如果|PF₁|-|PF₂|=4，那么雙曲線C的方程為

 

；離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，由已知得b=2a，再由雙曲線的定義，可得a=2，再由a，b，c的關系，得到c，由離心率公式計算即可得到．

解答： 解：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
由直線y=2x為雙曲線C的一條漸近線，可得

b

a

=2，
又|PF₁|-|PF₂|=4，即有2a=4，解得a=2，b=4，
c=

a2+b2

=2

5

．
則雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

16

=1（x＞0），離心率e=

c

a

=

5

．
故答案為：

x2

4

-

y2

16

=1（x＞0），

5

點評：本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎題．