Question

9．設函數f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），觀察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{3x+4}$，f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{7x+8}$，f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{15x+16}$…
根據以上事實，由歸納推理可得：當n∈N⁺時，f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

Answer 1

分析 觀察所給的前四項的結構特點，先觀察分子，只有一項組成，并且沒有變化，在觀察分母，有兩部分組成，是一個一次函數，根據一次函數的一次項系數與常數項的變化特點，得到結果．

解答 解：由題意，所給的函數式的分子不變都是x，而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，第二部分的數分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$，
∴f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．
故答案為$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

點評 本題考查歸納推理，實際上本題考查的重點是給出一個數列的前幾項寫出數列的通項公式，本題是一個綜合題目，知識點結合的比較巧妙．