Question

18．已知AB是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸，若把該長軸2010等分，過每個等分點作AB的垂線，依次交橢圓的上半部分于點P₁，P₂，…，P₂₀₀₉，設左焦點為F₁，則$\frac{1}{2010}$（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）=$\frac{2011}{2010}a$．

Answer 1

分析 設右焦點為F₂，由橢圓的定義可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，（1≤i≤2009，i∈N），點P₁，P₂，…，P_n-1 關于y軸成對稱分布，|F₁P_i|+|F₁P_2010-i|=2a，|F₁P₁₀₀₅|=a，|F₁A|+|F₁B|=2a，即可求得|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|的值，求得$\frac{1}{2010}$（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）=$\frac{2011}{2010}a$．

解答 解：設右焦點為F₂，由橢圓的定義可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，（1≤i≤2009，i∈N），
由題意知點P₁，P₂，…，P_n-1 關于y軸成對稱分布，
∴|F₁P_i|+|F₁P_2010-i|=2a，|F₁P₁₀₀₅|=a，|F₁A|+|F₁B|=2a，
|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|=2a×1004+2a+a=2011a，
$\frac{1}{2010}$（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）=$\frac{2011}{2010}a$，
故答案為：$\frac{2011}{2010}a$．

點評 本題考查橢圓的定義，考查橢圓的簡單幾何性質，考查計算能力，屬于中檔題．