Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：
①當x＞0時，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；
②函數f（x）有2個零點；
③f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④x1 ， x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正確命題的個數是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①f（x）為R上的奇函數，設x＞0，﹣x＜0，則：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；

∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；

∴故①錯誤，

②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；

又f（0）=0；

∴f（x）有3個零點；

故②錯誤，

③當x＜0時，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；

即x＜﹣1，

當x＞0時，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；

得0＜x＜1，

∴f（x）＜0的解集為（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；

故③正確，

④當x＜0時，f′（x）=ex（x+2）；

∴x＜﹣2時，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0時，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（﹣2，0）上單調遞增；

∴x=﹣2時，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2時，f（x）＜0；

∴f（x）＜f（0）=1；

即﹣e﹣2＜f（x）＜1；

當x＞0時，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；

∴f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；

x=2時，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2時，f（x）＞0；

∴f（x）＞f（0）=﹣1；

∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；

∴f（x）的值域為（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；

∴x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；

故④正確，

∴正確的命題為③④．

所以答案是：C .

【考點精析】利用函數奇偶性的性質和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．