Question

【題目】已知直線與拋物線： 相交于， 兩點， 是線段的中點，過作軸的垂線交于點.

（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；

（Ⅱ）是否存在實數使？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）直線方程與拋物線方程聯立，設， 得到根與系數的關系，并利用中點坐標等求點的坐標，并且設切線方程為 ，與拋物線方程聯立， ，解得 ，得證；（Ⅱ） 中，斜邊的中線等于斜邊的一半，所以 ,利用兩點間距離和弦長公式，建立等量關系求 .

試題解析：（Ⅰ）由 消去并整理，得，

設，則，

， ，

由題設條件可知， ， ， ，

設拋物線在點處的切線的方程為 ，

將代入上式，得，

直線與拋物線相切，

，

，即.

（Ⅱ）假設存在實數，使，則,

是的中點， ,

由（Ⅰ）得

軸，

，

，解得，

故存在，使.