Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．若函數(shù)y=|f（x）-t|-2011有二個零點，則實數(shù)t的取值范圍是______．

Answer 1

f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
當a＞0，a≠1時，因為f′（0）=0，且f′（x）在R上單調(diào)遞增，
故f′（x）=0有唯一解x=0
所以x，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

又函數(shù)y=|f（x）-t|-2011有三個零點，所以方程f（x）=t±2011有二個根，
而t+2011＞t-2011，所以|t-2011|＜（f（x））_min=f（0）=1，解得t∈（-2010，2012），
故答案為（-2010，2012）．