Question

【題目】(導學號：05856288)

設函數f(x)＝aln x－x，g(x)＝aex－x，其中a為正實數．

(Ⅰ)若f(x)在(1，＋∞)上是單調減函數，且g(x)在(2，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(Ⅱ)若函數f(x)與g(x)都沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a∈(0， ) (2) a∈(，e)

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出a的范圍即可；

（Ⅱ）分別求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，得到關于a的不等式組，解出即可．

試題解析：

(Ⅰ)f′(x)＝ (x>0，a>0)，

∵0<x<a時，f′(x)>0，x>a時，f′(x)<0，

∴f(x)在(0，a)上是增函數，在(a，＋∞)上是減函數，

又f(x)在(1，＋∞)上是減函數，∴0<a≤1.

又g′(x)＝aex－1，∴x>ln時，g′(x)>0，x<ln時，g′(x)<0，

∴x＝ln時，g(x)最小，∴ln>2，∴0<a<，∴a∈(0，).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知x＝a時，f(x)取得最大值，x＝ln，g(x)取得最小值，

由題意可得f(a)<0且g(ln)>0，

∴∴<a<e即a∈(，e).