Question

【題目】已知函數f(x)＝x＋＋2(m為實常數).

(1)若函數f(x)圖象上動點P到定點Q(0,2)的距離的最小值為，求實數m的值；

(2)若函數y＝f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，試用函數單調性的定義求實數m的取值范圍；

(3)設m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]時有解，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 或；(2)(－∞，4]；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)設P(x，y)，結合兩點之間距離公式有： ，求解關于實數的方程可得或；

(2)由題意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，有f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·>0.則m<x1x2.據此可得m的取值范圍是(－∞，4].

(3)由f(x)≤kx分離參數可得： 在上能成立，換元令，結合二次函數的性質可得：

當時，k∈[4m＋5，＋∞)；

當時，k∈[m＋3，＋∞).

試題解析：

(1)設P(x，y)，則y＝x＋＋2，

PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2

＝2x2＋＋2m≥2|m|＋2m＝2，

當m>0時，解得m＝－1；

當m<0時，解得m＝－－1.

所以m＝－1或m＝－－1.

(2)由題意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，

則f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)·>0.

因為x2－x1>0，x1x2>0，

所以x1x2－m>0，即m<x1x2.

由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.

所以m的取值范圍是(－∞，4].

(3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx.

因為x∈[，1]，所以k≥＋＋1.

令t＝，則t∈[1,2]，

所以k≥mt2＋2t＋1.

令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，

于是，要使原不等式在x∈[，1]時有解，當且僅當k≥[g(t)]min(t∈[1,2]).

因為m<0，

所以g(t)＝m(t＋)2＋1－的圖象開口向下，

對稱軸為直線t＝－>0.

因為t∈[1,2]，所以當0<－≤，

即m≤－時，g(t)min＝g(2)＝4m＋5；

當－>，即－<m<0時，

g(t)min＝g(1)＝m＋3.

綜上，當m≤－時，k∈[4m＋5，＋∞)；

當－<m<0時，k∈[m＋3，＋∞).