Question

9．若直線kx-y+6-3k=0與曲線y=$\sqrt{9-{x^2}}$有兩個交點，則k的范圍為：$（\frac{3}{4}，1]$．

Answer 1

分析 由條件化簡可得半圓和直線有兩個相異的交點，如圖所示，求出斜率，可得實數k的取值范圍．

解答 解：曲線y=$\sqrt{9-{x^2}}$，
即x²+y²=9（y≥0），
表示以M（0，0）為圓心，
半徑等于3的一個半圓．
直線kx-y+6-3k=0即 k（x-3）-y+6=0，經過定點N（3，6）．
再根據半圓和直線有兩個相異的交點，
如圖所示：
由題意可得，直線和半圓相切，k=$\frac{3}{4}$，
直線過（-3，0），斜率，1，
故所求的實數k的范圍為$（\frac{3}{4}，1]$．
故答案為$（\frac{3}{4}，1]$．

點評 本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．