Question

（2012•許昌三模）如圖，圓O的直徑AB=d，P是AB延長線上一點，Bp=a，割線PCD交圓O于點C、D，過點P作AP的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F．
（Ⅰ）求證：∠PEC=∠PDF；
（Ⅱ）求PE•PF的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用AB是圓O的直徑，可得∠ACB=∠APE=90°，從而P、B、C、E四點共圓，又A，B，C，D四點共圓，利用四點共圓的性質，可得結論；
（Ⅱ）證明D，C，E，F四點共圓，利用割線定理，即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：連接BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=∠APE=90°，即P，B，C，E四點共圓，
∴∠PEC=∠CBA．
又A，B，C，D四點共圓，∴∠CBA=PDF，
∴∠PEC=∠PDF；
（Ⅱ）解：∵∠PEC=∠PDF，∴D，C，E，F四點共圓
∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=a（a+d）．

點評：本題考查圓的性質，考查四點共圓的判定，考查割線的性質，屬于中檔題．