Question

（2012•許昌三模）已知函數(shù)f（x）=e^x，若函數(shù)g（x）滿足f（x）≥g（x）恒成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的下界函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）-kx是f（x）的下界函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）證明：對(duì)于?m≤2，，函數(shù)h（x）=m+lnx都是f（x）的下界函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=kx是f（x）的下界函數(shù)，則k＜0不成立而k=0必然成立；當(dāng)k＞0時(shí)，若g（x）=kx是f（x）的下界函數(shù)，則f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-kx≥0恒成立．構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-kx，求得h（x）_min≥0，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函數(shù)，證明h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：若函數(shù)g（x）=kx是f（x）的下界函數(shù)，則k＜0不成立而k=0必然成立．----（2分）
當(dāng)k＞0時(shí)，若g（x）=kx是f（x）的下界函數(shù)，則f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-kx≥0恒成立．
令h（x）=e^x-kx，則h′（x）=e^x-k．
令h′（x）＜0，則x＜lnk，h′（x）＞0，則x＞lnk，
∴函數(shù)h（x）在（-∞，lnk）單調(diào)遞減，（lnk，+∞）上單調(diào)遞增．----（4分）
由h（x）≥0得h（x）_min=h（lnk）=k-klnk≥0，解得0＜k≤e．
綜上：0≤k≤e．----（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知函數(shù)G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函數(shù)．即f（x）≥G（x）恒成立----（8分）
若m≤2，構(gòu)造函數(shù)F（x）=ex-lnx-m（x＞0），則F′（x）=

ex-1

x

令F′（x）＜0，則x＜

1

e

，F(xiàn)′（x）＞0，則x＞

1

e

，
∴函數(shù)h（x）在（-∞，

1

e

）單調(diào)遞減，（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴F（x）_min=F（

1

e

）=2-m≥0----（10分）
即h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函數(shù)，即G（x）≥h（x）恒成立．
所以，f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，即h（x）=m+lnx是f（x）=e^x的下界函數(shù)．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查新定義，屬于中檔題．