Question

已知二次函數f（x）=x²-2（2m-1）x+5m²-2m+4在[0，1]上的最小值為g（m）；
（1）求g（m）的解析式；
（2）若m∈[-2，0]，設g（m）的最小值為M，計算log₁₉

5

（1+log₅M）的值．

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）二次函數f（x）的圖象的對稱軸為x=2m-1，再分對稱軸在所給區間的左側、中間、右側三種情況，分別求得f（x）的最小值為g（m）的解析式，綜合可得結論．
（2）根據m∈[-2，0]，則g（m）為減函數，求得g（m）的最小值為M=4，再利用對數的運算性質，求得log₁₉

5

（1+log₅M）的值．

解答： 解：（1）二次函數f（x）=x²-2（2m-1）x+5m²-2m+4的圖象的對稱軸為x=2m-1，
當2m-1＜0 時，即m＜

1

2

時，f（x）在[0，1]上單調遞增，f（x）的最小值為g（m）=f（0）=5m²-2m+4；
當2m-1∈[0，1]時，即m∈[

1

2

，1]時，f（x）在[0，2m-1]上單調遞減，在[2m-1]，1]上單調遞增，f（x）的最小值為g（m）=f（2m-1）=m²+2m+3；
當2m-1＞1 時，即m＞1時，f（x）在[0，1]上單調遞減，f（x）的最小值為g（m）=f（1）=5m²-6m+7，
故g（m）=

5m2-2m+4，m＜ 1 2 m2+2m+3，m∈[ 1 2 ，1] 5m2-6m+7，m＞1

．
（2）若m∈[-2，0]，則g（m）=5m²-2m+4為減函數，故g（m）的最小值為M=g（0）=4，
log₁₉

5

（1+log₅M）=log₁₉

5

+log₁₉

5

•log₅4=log₁₉

5

+log₁₉

5

•log

5

2=log₁₉（

5

×2）=log₁₉（2

5

）．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，對數的運算性質，體現了分類討論的數學思想，屬基礎題．