Question

4．設過函數f（x）=lnx+x的圖象上任意一點處的切線為l₁，總存在過函數g（x）=2x+acosx的圖象上一點處的切線l₂，使得l₁⊥l₂，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [-1，2]
• B． （-∞，-3]∪[3，+∞）
• C． （-∞，-1]∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪[2，+∞）

Answer 1

分析 求得f（x）的導數，可得切線l₁的斜率k₁，求得g（x）的導數，可得切線l₂的斜率k₂，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結合正弦函數的值域和條件可得（-1，0）⊆[2-|a|，2+|a|]，得到不等式組，解得a的范圍即可．

解答 解：∵函數f（x）=lnx+x，∴f′（x）=$\frac{1}{x}+1$，x＞0，
∴過函數f（x）=lnx+x的圖象上任意一點處的切線l₁的斜率k₁=$\frac{1}{{x}_{1}}+1$，
∵g（x）=2x+acosx，∴g′（x）=2-asinx，
∵過函數f（x）=lnx+x的圖象上任意一點處的切線為l₁，
總存在過函數g（x）=2x+acosx的圖象上一點處的切線l₂，
∴切線l₂的斜率k₂=2-asinx₂，
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=（$\frac{1}{{x}_{1}}$+1）（2-asinx₂）=-1，
∴2-asinx₂=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$=-1+$\frac{1}{{x}_{1}+1}$，
∵x₁＞0，∴-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$∈（-1，0），
2-asinx₂∈[2-|a|，2+|a|]，
∵?x₁，?x₂使得等式成立，
∴（-1，0）⊆[2-|a|，2+|a|]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-|a|≤-1}\\{2+|a|≥0}\end{array}\right.$，故|a|≥3，
解得：a≥3或a≤-3，
故選：B．

點評 本題考查導數的應用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及轉化思想的運用，區間的包含關系，考查運算能力，屬于中檔題．