Question

已知定點，F是橢圓的右焦點，M是橢圓上一點，滿足|AM|+2|MF|的值最小，則點M的坐標和|AM|+2|MF|的最小值分別為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用圓錐曲線的統一定義=e=，結合題意化簡得|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，根據平面幾何性質得當A、M、N共線于垂直于右準線的一條直線上時，|AM|+2|MF|取得最小值，由此即可算出答案．
解答：解：∵橢圓中，a=4，b=2
∴c==2，離心率e==，
記點M（m，n）到右準線的距離為|MN|，
則根據圓錐曲線的統一定義，得=e=，
可得|MN|=2|MF|，從而得到|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，
由此可得：當A，M，N同時在垂直于右準線的一條直線上時，
|AM|+2|MF|取得最小值，此時M的縱坐標與A點相等，
即n=，代入到橢圓方程，解得m=±2，
而點M在第一象限，可得M（2，），
由橢圓的準線方程為x==8，可得|AM|+2|MF|的最小值為8-（-2）=10
故選：C
點評：本題給出定點A和焦點為F的橢圓上的動點M，求|AM|+2|MF|的最小值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、圓錐曲線的統一定義等知識，屬于中檔題．