Question

已知函數f（x）=2k²x+k，x∈[0，1]．函數g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5，x∈[-1，0]．存在x₁∈[0，1]，x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立，求k的取值范圍．（g（x）的值域與f（x）的值域的交集非空．）

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：求出f（x）在[0，1]上的值域，g（x）在[-1，0]上的值域，由f（x）在[0，1]上的值域是g（x）在[-1，0]上的值域的子集說明對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立．

解答： 解：f（x）=2k²x+k，當x∈[0，1]時，函數單調遞增，f（x）∈[k，2k²+k]，
g（x）=3x²-2（k²+k+1）x+5，
當x∈[-1，0]時，g（x）∈[5，2k²+2k+10]，
由對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[-1，0]，g（x₂）=f（x₁）成立有
[k，2k²+k]⊆[5，2k²+2k+10]，
即

5≤k 2k2+k≤2k2+2k+10

，解得k≥5，
則求k的取值范圍為k≥5．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，關鍵是把問題轉化為兩函數在不同定義域內的值域間的關系問題，是中檔題．