Question

直線

2

ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A，B兩點（其中a，b是實數），且△AOB是直角三角形（O是坐標原點），則點P（a，b）與點（0，1）之間距離的最大值為（　　）

• A、

  2

  +1
• B、2
• C、

  2

• D、

  2

  -1

Answer 1

分析：根據圓的方程找出圓心坐標和半徑，由|OA|=|OB|根據題意可知△AOB是等腰直角三角形，根據勾股定理求出|AB|的長度，根據等腰直角三角形的性質可得圓心到直線的距離等于|AB|的一半，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，兩者相等即可得到a與b的軌跡方程為一個橢圓，由圖形可知點P（a，b）到焦點（0，1）的距離的最大值．

解答：解：由圓x²+y²=1，所以圓心（0，0），半徑為1
所以|OA|=|OB|=1，則△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=

2

，
則圓心（0，0）到直線

2

ax+by=1的距離為

1

2a2+b2

=

|AB|

2

=

2

2

，
∴2a²+b²=2，即a²+

b2

2

=1．
因此所求距離為橢圓a²+

b2

2

=1上點P（a，b）到焦點（0，1）的距離，
如圖得到其最大值PF=

2

+1
故選A

點評：此題考查學生靈活點到直線的距離公式化簡求值，綜合運用所學的知識求動點形成的軌跡方程，是一道綜合題．